Method of Moments Estimation (MoM), 적률법 예제와 답안

 수학기호가 안보인다면 새로고침(F5)해보세요 :D  

 

 

 

Method of Moments (MoM)

 

아이디어는 다음과 같습니다. 예를들어 하나의 x를 구하려고 할때 하나의 식( e.g. x+1=10 )이 필요합니다. x와 y 두개의 parameters를 구하려고 한다면 두개의 식이 필요하겠죠. 이처럼, sample data의 mean과 variance를 구하려고 한다면 두개의 식이 필요합니다. 우리가 알고싶어하는 prameters를 가장 최대한 근사값으로 찾을 수 있게 도와주는 방법중에 하나가 바로 Method of Moments 입니다.  

 

참고로 parameter는 모수, 즉 모르지만 우리가 구하고자 하는 수인데요, true 값은 알 수 없어서 가장 근사한 추정(estimates)값을 찾습니다. Estimator라고 알려주기 위해 estimator 위에 항상 ＾(hat)을 씌워줍니다.

 

[1] MoM을 구하는 방법

The Steps for finding the MoM are following; 

1) Calculate low order moments in terms of parameters,

2) Invert the expression in terms of moments and

3) finally simply put the hat on the expression in step 2 to obtain estimator of the parameters. 

 

Remark

$\star$ The K^th moment: M^(K)(0)=$\mu_{k}$= E(X^k) 

$\star$ $\hat{\mu_{k}}$ can be treated as an unbiased estimate of $\mu_{k}$_.

 

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis 3RD Edition Chapter 8, Q4  

Suppose that X is discrete random variable with P(X=0)=$\frac{2}{3}\theta$, P(X=1)=$\frac{1}{3}\theta$, P(X=2)=$\frac{2}{3}(1-\theta)$, P(X=3)=$\frac{1}{3}(1-\theta)$. The following 10 independent observations were taken from such a distribution. (3, 0, 2, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 1)

a) Find the method of moment estimate of $\theta$.

b) Find the approximate standard error for your estimate.

 

▷Think first!

- Based on the sample observations with size 10, what is the sample mean?

- How can you find the expected value in discrete case?

- From the results of two questions above, what is your conclusion?

- We can find the sample variance by using the second moment. So what is variance of the estimate?

답안은 여기 클릭하면 보실 수 있어요. Solution!!

 

 

 

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis 3RD Edition Chapter 8, Q54 (a)

Let X1 X2...Xn be iid uniform on [0,  $\theta$]

a) Find the method of moments estimate of $\theta$ and its mean and variance.

답안은 여기 클릭하면 보실 수 있어요. Solution!! 

 

 

긴글 읽어주셔서 감사합니다. 도움되셨으면 공감 부탁드려요.

저도 아직 배우는 학생이다보니 수정해야할 부분이 있다면 댓글 부탁드릴게요 :D