이항분포 (Binomial Distribution) 개념 및 예제

[1] 이항분포 (Binomial Distribution) 정의와 조건

이항분포에 대해 설명하기 앞서, 베르누이 시행(trial)에 대해 먼저 알고 있어야 해요. 클릭> 베르누이분포  

베르누이 시행(Bernoulli Trial)에 대해 설명하자면~ 결과값(outcomes)이 딱 두가지가 있는 시행(trial)을 말합니다. 가장 대표적인 예가 바로 동전 던지기죠. 앞면 뒷면- 이렇게 두 개의 결과값이 있으니까요.  그럼 이 동전던지기를 통해 이항분포를 정리해볼게요.

 

동전을 던졌을때, 앞면이 나올 확률이 1/2, 뒷면이 나올 확률이 1/2이라고 해요. 그리곤 이 동전 하나를 n번 냅다 전집니다. 매번 던질때마다 다음 던질때 영향을 미칠까요? (이번에 앞면나온다고 해서 다음에 앞면나오고 그러진 않죠) 그리고 매번 던질 때마다 앞면, 뒷면 나올 확률이 달라질까요? 아니예요. 확률은 계속 고정돼있습니다. 그래서 제일 중요한 조건은-

 

1) 매번 동전 던질때마다 베르누이 시행이 독립시행이어야 합니다. 

2) 앞면나올 확률(뒷면나올확률)은 고정돼서 변하지 않아야 합니다. 

3) 그리고 총 던지는 횟수가 정해져있어야 해요. (무한대로 던지기- 이런게 아니라 10번이면 10번, 100번이면 100번, n번이면 n번 이렇게요~) 

 

이렇게 첫번째 던지고, 두번째 던지고, 세번째 던지고...계속계속 n번째까지 던져봅니다. 이 값은 random 값이예요. 즉, 무작위값이기때문에 분포를 가집니다. (이해 안가시면 댓글 주세요) 이 분포를 이항분포라고 합니다.  

 

[2] 이항분포 식 

이항분포가 어떤건지 개념을 알았으니 이제 식을 보도록 해요. 계속해서 동전던지기 예를 생각해봅시다. 동전을 결국 n번 던졌어요.

 

- 만약에 앞면나온 횟수가 x라고 한다면 뒷면나온 횟수는 n-a 겠지요. 

- 앞면 나온 확률이 p라면, 뒷면나온 확률은 1-p=q 이겠지요. (확률은 0에서 최대 1값만 가지니까요)  

★ $P(X)= \binom{n}{x} p^x(1-p)^{n-x}$, x=0,1,...,n

★ E(X)=np, Var(X)=np(1-p)=npq (where q=1-p)

 

 

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아래 내용은 조금 더 심화과정인데요. 답은 solution 클릭하시면 됩니다.

자세한 설명은 생략할게요. 대신 궁금한점 있으시면 댓글 달아주세요 :D

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이항분포와 관련한 가설검증(Hypothesis Testing)문제를 풀어보겠습니다. 

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis 3ED, Chapter 9. Q1. 

A coin is thrown independently 10 times to test the hypothesis that the probability of head is $\frac {1}{2}$ . $H_{1}: p\neq \frac {1}{2}$. The test rejects if either 0 or 10 heads are observed. 

(동전을 10번 던져서 앞면 나올 확률이 1/2인지에 대한 가설검증을 해보려고 합니다. 만약 10번 모두 앞면이 나오거나 모두 뒷면이 나오면 이 가설이 틀렸다고 할꺼예요)  

a) What's the significance level of test?

b) If in fact, the probability of head is 0.1. What's the power of the test? 

Solution??!!

 

 

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis 3ED Chapter8. Q31.

George spins a coin three times and observed no heads. He then gives the coin to Hilary. She spins it until the first head occurs, and ends up spinning it four times total. Let $\theta $ denote the probability the coin comes up heads. 

(George가 동전을 세번 굴려보았는데 앞면이 나오지 않았습니다. 그래서 Hilary에게 동전을 넘겼어요. 그래서 Hilary가 앞면 나올 때까지 냅다 던지기로 했는데 결국에 4번만에 앞면이 나왔어요! 이때 앞면 나올 확률을 모르는데, 이 확률을 $\theta $ 라고 해봅시다. 즉, 이 확률이 뭔지 주어진 데이타로 찾아보는 문제예요.)  

a) What is the likelihood of $\theta $?

b) What is the MLE of $\theta $?

Solution??!!