프아송 분포 (Poisson distribution) 증명 및 예제 (답안)

 

프아송 분포(Poisson distribution) 증명과 예제는 제가 링크로 올릴게요. 프아송 분포에 대한 설명은 책이나, 구글이나 자세하게 나와있어서요. 전 증명이나 예제 문제로 정리해서 올렸습니다. 영문이긴 하지만 그래도 도움되실 분 계실꺼라 믿으며 링크로 대신 올립니다. 솔루션 역시 링크걸려있어요. http://statnmath.blogspot.ca/2014/07/poisson-distribution.html 

 

저 링크 따라가보시면, 관련 내용은 다음과 같아요.

- MGF(moment generating function, 적률생성함수) 증명 

- 평균, 분산 증명

- MLE (maximum likelihood estimate, 최대가능도추정량)

- Sufficient statistics (충족통계량) 증명 및 예제 (답도 있어요)

- exponential family (지수족) 증명

- likelihood ratio testing (우도비검정) 예제 (답도 있어요)

 

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis, 3ED, Chapter 8. Q3. 

One of the earliest applications of the Poisson distribution was made by Student(1907) in studying errors made in counting yeast cells or blood corpuscles with a haemacytometer. In this study, yeast cells were killed and mixed with water and gelatin; the mixture was then spread on a glass and allowed to cool. Four different concentrations were used. Counts were made on 400 squares and the data are summarized in the following table; (we're deal with only one data set) 

(#cells, Concentration 2)

= (0, 103) (1, 143) (2, 98) (3, 42) (4, 8) (5, 4) (6 2) (7, 0) (8, 0) (9, 0) (10, 0) (11, 0) (12, 0)

a) log-likelihood for λ  ? 

b) maximum likelihood? 

c) Calculate maximum likelihood?

d) Find an approximate 95% confidence interval for lambda.

 

 

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis 3ED, Chpater 9, Q7. 

Let $X_{1}, \cdots ,X_{n}$ be a sample from a Poisson distribution. Find the likelihood ratio for testing $H_{0}: \lambda = \lambda_{0}$ versus $H_{A}: \lambda = \lambda_{1}$, where $\lambda_{1}> \lambda_{0}$. Use the fact that the sum of independent Poisson random variables follows a Poisson distribution to explain how to determine a rejection region for a test at level $\alpha$  

 

위 사이트에서 예제는 제가 앞으로 계속 추가할 예정입니다. 언제될런지 모르겠지만ㅠㅠ 저도 꾸준히 공부하면서 시간나는대로 올리도록 할게요. 궁금한 사항 있으시면 댓글 남겨주세요. 감사합니다^^