[증명] 평균(기댓값, expected value) 분산(variance), 공분산(covariance)

 

 

http://statnmath.blogspot.ca/2014/07/expected-value-variance-covariance.html 

통계에 관한 기본적인 내용 및 증명입니다. Proof는 링크 클릭하시면 볼 수 있어요. 참고하세요~ :D 

 

 

| Expected Value (기댓값, 평균)

 

 Discrete Case: $\mathsf {E(x)= \sum x_{i} \cdot P(X=x_{i})}$        

 Continuous Case: $\mathsf {E(x)= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)dx }$ 

 Properties   (a, b $ \in \mathbb{R}$)  

      If X$\geq$ 0, then E(X)$\geq$ 0  증명 링크 참조                 

       E(aX) = a E(X)  증명 링크 참조   

      E(X+Y) = E(X) + E(Y)

| Variance (분산)

 

$\mathsf{ Var= E(X^2)- E(X)^2 }$ 증명 링크 참조 

Properties   (a, b $ \in \mathbb{R}$)  

      Var(a)=0  (All values are same, then there is no variance) 

      Var (aX+b)= $a^2 \cdot$Var(x) 증명 링크 참조 

      Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y) 증명 링크 참조 

      Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y), iff X and Y are uncorrelated
 

| Covariance (공분산)

A measure ofhow much two random variables change together!

• Cov(X,Y)=E{ [X-E(X)][Y-E(Y)] } = E(XY)-E(X)E(Y)

       

|If X and Y are independent, then 

• P(X=x, Y=y)=P(X=x)P(Y=y)
• E(XY)=E(X)E(Y)  증명 링크 참조 
• Cov (X,Y)=0 증명 링크 참조