기하분포 (Geometric distribution) 정의, 평균과 분산, MoM MLE 증명과 예시

이번 포스팅은 기하분포의 평균과 분산, 그리고 MoM (Method of Moment), MLE (Maximum Liklihood Estimate) 증명과 예제를 다룬 내용입니다. 자세한 내용은 아래 링크를 참조하세요 :D

http://statnmath.blogspot.ca/2014/07/geometric-distribution.html

 

 

기하분포 (Geometric Distribution)

$\bigstar$ X~Geom(p) : the # of Bernoulli trials needed to get ONE success, each with probability P.

기하분포에 대한 정의는 다음과 같아요. 주사위를 던져 6이 나오면 성공! 6이 아닌 다른숫자가 나오면 실패!!라고 생각해봅시다. 물론 한번에 던져서 나올 수 있고, 여러번 실패끝에 6이 나올 수 있겠죠. 이처럼 k번 시도해서 처음 6이나와 성공했을때 기하분포를 적용하면 됩니다. 이때 각각 event는 서로 독립적이어야하고 (즉, 서로 결과에 영향을 주지 말아야하고요~), 성공과 실패 이렇게 두가지의 bernoulli trial이여야 합니다. 

Bernoulli 에 대한 내용은 http://statnmath.blogspot.ca/2014/07/bernoullip-distribution-mle.html  

 

기하분포 식은 다음과 같습니다. k는 시도한 횟수를 말해요. 일단 시도를 해야하니까 k는 1부터 시작합니다. 단한번에 성공을 한다고 치더라도 한번이라는 시도는 해야하니까요. 아래에서 p는 성공할 확률이고, 1-p는 실패할 확률이겠죠. 5번의 시도끝에 성공했다 치면, 4번은 실패를 한거겠네요. 그래서 실패할 확률에서 k-1이 들어가게 됩니다.

$\bigstar$ $P(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p$,  k=1,2,3...

$\bigstar$ E(X)= $\frac {1}{p}$, Var(x)= $\frac {1-p}{p^2}= \frac {q}{p^2}$

평균과 분산은 위의 식과 같고요. 이걸 평균과 분산을 증명하기 위해서 적률법 혹은 최대우도 추정법을 이용합니다. 

 

평균과 분산 증명을 위해, 적률법( MoM, method of moment)과 최대우도추정법 (MLE Maximum Likelihood Estimate)에 대한 증명은 아래 링크를 참조하세요 :D

http://statnmath.blogspot.ca/2014/07/geometric-distribution.html

 

 

대학교재문제로 기하분포 예시를 들어봅니다. 답은 위에 링크 들어가보시면 보실 수 있어요.   

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis, 3ED, Chapter8. Q8

In an ecological study of the feeding behavior of birds, the number of hos between flights was counted for several birds. For the following data, (a) fit a geometric distribution, (b) find an approximate 95% confidence interval for p. 

(# Hops, Frequency)= (1, 48) (2, 31) (3, 20) (4, 9) (5, 6) (6,5) (7,4) (8,2) (9,1) (10,1) (11,2) (12,1)