(통계증명) F분포 증명하기 (F distribution)

1. Q&A 관련 공지사항을 참고해주세요. http://statnmath.tistory.com/notice/41

2. 서로 예의갖추는 공간이 됐으면 합니다.

   성의없는 질문, 고마워하지도 않는 분들의 질문은 패스하겠습니다.  

 

 

[질문]

 

[힌트]

어디까지 증명을 해드려야할지- 흠~

왜냐하면, 이 증명을 하려면 세가지 관계를 아셔야 해요. 정규분포에서 카이제곱분포, 카이제곱분포에서 F분포!

심화과정이 아니면 보통 정의만 배울텐데 (전 한국에서 통계과정을 배운게 아니라서 잘 모르겠습니다만-),

어디까지 자세히 적어야할지 몰라서- 제 맘대로 적어봅니다.

 

 

F분포 정의부터 생각해보자면, F분포는 두 개의 카이제곱분포의 ratio로 이뤄져있습니다.

→즉, 카이제곱분포를 가지고있는 A와 B가 있다고 가정해봅시다. $A\sim \chi_{n_{1}}^2$, $B\sim \chi_{n_{2}}^2$!! 여기서 자유도(degrees of freedom)은 각각 n1, n2라고 해요. 이때 ratio는 F 분포를 띄게 됩니다. $\frac{A/n_{1}}{B/n_{2}} \sim F_{n_{1},n_{2}}$ 이때 자유도는 n1과 n2예요.

 

그렇다면, 문제에서 $S_{1}^2$ 과 $S_{2}^2$ 이 카이제곱분포이어야 하겠네요! 

그럼, 카이제곱분포의 정의를 살펴봐야죠.  

→$X_{1}, X_{2},..., X_{n}$ 이 $N(\mu, \sigma^2)$ 으로부터 온 random sample일때,

  $\frac{n-1}{\sigma^2}\cdot S^2$ 는 n-1의 자유도를 가진 카이제곱 분포를 띄게 됩니다.

 

이 문제답을 어느정도 레벨로 적어야할지 모르지만, 일단 증명을 적어보자면~

$\sum_{i=1}^n (X_{i}- \mu)^2 = \sum(X_{i}-\bar{X}+\bar{X}-\mu)^2$  *X bar를 더해주고 빼줘도 식엔 지장 없습니다.

                          $=\sum ( (X_{i}-\bar{X})^2+2(X_{i}-\bar{X})(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2) $  *두개씩 짝지어서 제곱식을 풀어주고요~

                          $=\sum(X_{i}-\bar{X})^2+2(\bar{X}-\mu)\sum(X_{i}-\bar{X})+n(\bar{X}-\mu)^2$ * sigma를 풀고

                          $=\sum(X_{i}-\bar{X})^2+n(\bar{X}-\mu)^2$ *중간에 있는 term은 0이여서 사라집니다~  

 이때, $s^2=\frac{1}{n}\sum (X_{i}-\bar{X})^2$ 이니까, $\sum (\frac{X_{i}-\mu}{\sigma})^2= \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}+\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$ 이렇게 바꿔적을 수 있어요.

 

*여기서!! 식의 왼쪽 moment generating function(MGF)가,오른쪽 두개의 MGFs곱과 같다는건 아시죠? 

  ▷ $\sum\ (\frac{X_{i}-\mu}{\sigma})^2\sim \chi_{n}^2$ 을 띄고요. MGF는 $M_{W}(t)=(1-2t)^{-\frac{n}{2}}$ 이고, 

  ▷ $\frac{n(\bar{X}-\mu)}{\sigma^2}\sim \chi_{1}^2$를 띄고, MGF는 $(1-2t)^{-\frac{1}{2}}$  입니다.

 

증명이 너무 길어져서 아실것 같은 부분은 건너띄었습니다. 헥헥 >_<

그럼 우린 중간 식을 궁금해하잖아요. 중간식의 MGF는 $M(t)=\frac{(1-2t)^{-\frac{n}{2}}}{(1-2t)^{-\frac{1}{2}}}=(1-2t)^{-\frac{n+1}{2}}$  입니다.

그럴려면 얘가 n-1 자유도를 갖는 카이제곱을 가져야해요.

 

자유도가 n-1을 가진 카이제곱 분포를 가진다는걸 증명했으니까,

두 개 카이제곱 분포의 ratio는 F분포의 정의에 따라 F분포를 가지게 된다라고 증명하면 되겠어요.

 

 

도움 되셨나요?