베르누이 분포 - 평균 및 분산 증명

베르누이 분포에 대한 내용은 여기 포스팅을 참고해주세요. http://statnmath.tistory.com/37 

 

베르누이분포에서 분산 증명을 정리해보고자 합니다.

댓글로 질문 주셨는데요-  여기에 올리고 차후 베르누이 분포 포스팅에다가 이 내용을 업데이트하겠습니다.

 

베르누이 분포 식을 적어볼게요. $P(X=x)=p^x \cdot (1-p)^{1-x}$  이고 x값은 0 혹은 1의 값만 갖습니다.

 

[베르누이 분포 평균 증명]

먼저 E(X) - 베르누이 평균값 부터 찾아볼게요.

$E(X)=\sum_{x}x \cdot p(x)= 0 \cdot p^0(1-p)^{1-0}+1 \cdot p^1 (1-p)^{1-1}$

이산분포(discrete)분포기때문에 x 값에 따라 확률을 따로따로 구해서 더해줍니다. 베르누이는 x가 0일때와 1일때 값을 갖기때문에 0일때의 확률, 1일때의 확률 이렇게 구해서 평균값을 구하게 돼요.

        $= 0 \cdot (1-p)+ 1 \cdot p = p$

따라서 베르누이 분포 평균은 p 값을 가집니다.

 

[베르누이 분포 평균 증명]

그럼 분산값을 구해볼게요. 분산은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있습니다. $Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2$ 

그럼 $E(X^2)$ 값이 필요하겠네요.

$E(X^2)=\sum_{x} x^2 \cdot P(X=x)= 0^2 \cdot p^0(1-p)^{1-0}+1^2 \cdot p^1(1-p)^{1-1}$

           $= 0^2 \cdot (1-p)+ 1^2 \cdot p = p$

따라서, $Var(X)= p - p^2 = p(1-p)=pq$  (보통 1-p를 q 라고 하죠~) 이렇게 됩니다.