생물학, 통계학, 데이터 과학

멘델 논문발표 이후... 두번째 포스팅 

이번 포스팅은 멘델 논문발표 이후 첫번째 포스팅에서 이어집니다. 첫번째 포스팅은 3:1의 예외, 즉 불완전우성, 공동우성, 복대립유전자에 대해 정리했고요. 포스팅이 궁금하시면 여기 클릭하세요!

이번 포스팅 역시 멘델의 분리의 법칙과 독립의 법칙의 예외를 찾는 경우에 대한 내용입니다. 

[1] Complementation (상보성)

[2] Multiple Alleles (복대립유전자) - Epistasis: Recessive & Dominant Epistasis    

[1] Complementation (상보성)   

수업시간 교수님께서 아래 예를 들어가면서 용어 설명해주셨는데 정말 이해가 잘 됐거든요. 그래서 여기에도 정리해봅니다. 2명이서 20페이지 작성해야하는 팀과제를 해야하는데요~ 팀원이 어떻게 구성되는지에 따라 결과물이 달라지는걸로 비유를 하셨어요. 팀원 두명은 엄마 아빠 유전자형을 말하고요. 결과물은 자식의 유전자형이 되겠죠~!!

Homozygous wild type (동종 접합 야생형)

범생 팀원 두명이 만나서 열심히 합니다. 20페이지 다 작성해서 A+을 받습니다.

Homozygous mutant

팀원 둘 다 최악으로 전혀 안합니다. 하나도 작성 못해서 F를 받습니다.

Heterozygous, haplosufficient

팀원 한명은 진짜 범생, 나머지 팀원은 미쳤습니다. 안합니다. 그나마 범생덕분에 10페이지라도 채워서 A+를 받습니다.

Heterozygous, haploinsuffient (반가불충분설)

마찬가지로 팀원 한명은 진짜 범생, 나머지 팀원은 미쳤습니다. 그런데 범생이 10페이지 작성했음에도 불구하고 F를 받습니다.

Heterozygous, dominant negative (우성 열성 돌연변이)

팀원 한명은 미친듯이 놀고, 다른 팀원은 열심히 하려고는 하지만 능력 부족으로 (즉, 발현은 정상인데 기능을 못해서) 3페이지만 겨우 작성합니다. 하지만 능력 부족으로 F를 받습니다.

pleiotropy (다형질발현) 

One Gene, Multiple Phenotype. 즉 하나의 유전자형이 여러가지 표현형을 가지고 있는 경우입니다.  

여기서 Recessive lethal (열성적 치사)용어가 나옵니다. 간단히 설명하자면, Aa x Aa 만날경우 - AA, Aa, Aa, aa 이렇게 유전자형이 형성될텐데, aa 인 열성으로 유전자형이 조합될 경우 죽게되는거죠. 그래서 AA, Aa, Aa 만 살 수 있으니까 유전자형 비율이 1:2=AA:Aa로 되는거죠. 그림을 보면 더 쉽게 이해하실꺼라 생각합니다. 

 수학기호가 안보인다면 새로고침(F5)해보세요 :D  

Method of Moments (MoM)

아이디어는 다음과 같습니다. 예를들어 하나의 x를 구하려고 할때 하나의 식( e.g. x+1=10 )이 필요합니다. x와 y 두개의 parameters를 구하려고 한다면 두개의 식이 필요하겠죠. 이처럼, sample data의 mean과 variance를 구하려고 한다면 두개의 식이 필요합니다. 우리가 알고싶어하는 prameters를 가장 최대한 근사값으로 찾을 수 있게 도와주는 방법중에 하나가 바로 Method of Moments 입니다.  

참고로 parameter는 모수, 즉 모르지만 우리가 구하고자 하는 수인데요, true 값은 알 수 없어서 가장 근사한 추정(estimates)값을 찾습니다. Estimator라고 알려주기 위해 estimator 위에 항상 ＾(hat)을 씌워줍니다.

[1] MoM을 구하는 방법

The Steps for finding the MoM are following; 

1) Calculate low order moments in terms of parameters,

2) Invert the expression in terms of moments and

3) finally simply put the hat on the expression in step 2 to obtain estimator of the parameters. 

Remark

$\star$ The K^th moment: M^(K)(0)=$\mu_{k}$= E(X^k) 

$\star$ $\hat{\mu_{k}}$ can be treated as an unbiased estimate of $\mu_{k}$_.

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis 3RD Edition Chapter 8, Q4  

Suppose that X is discrete random variable with P(X=0)=$\frac{2}{3}\theta$, P(X=1)=$\frac{1}{3}\theta$, P(X=2)=$\frac{2}{3}(1-\theta)$, P(X=3)=$\frac{1}{3}(1-\theta)$. The following 10 independent observations were taken from such a distribution. (3, 0, 2, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 1)

a) Find the method of moment estimate of $\theta$.

b) Find the approximate standard error for your estimate.

▷Think first!

- Based on the sample observations with size 10, what is the sample mean?

- How can you find the expected value in discrete case?

- From the results of two questions above, what is your conclusion?

- We can find the sample variance by using the second moment. So what is variance of the estimate?

답안은 여기 클릭하면 보실 수 있어요. Solution!!

Example) Mathematical Statistics and Data Analysis 3RD Edition Chapter 8, Q54 (a)

Let X1 X2...Xn be iid uniform on [0,  $\theta$]

a) Find the method of moments estimate of $\theta$ and its mean and variance.

답안은 여기 클릭하면 보실 수 있어요. Solution!! 

긴글 읽어주셔서 감사합니다. 도움되셨으면 공감 부탁드려요.

저도 아직 배우는 학생이다보니 수정해야할 부분이 있다면 댓글 부탁드릴게요 :D

수학기호를 라텍스로 변환할때 나름 이용하기 편한 사이트 하나 추천합니다.

사이트 주소는 다음과 같고요. http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php 

아래 네모난 상자에 편한대로 적은 뒤, 설정을 LaTeX, HTML 혹은 WordPress 하면 변환내용이 아래처럼 뜨고요, 그걸 복사해서 붙여넣으면 됩니다. 전 구글블로그(블로그스팟) 정리할때 아무래도 수학기호가 많이 들어가다보니 이것저것 많이 시도해보았는데 여기가 제일 편하더라고요. 참고로 제 구글블로그는 http://statnmath.blogspot.ca/ 입니다^^

그 외에도 LaTeX로 변환해주는 사이트가 많은데요. 사이트 방문해보니 깔끔하게 잘 해놓은것 같은데 이용은 안해봐서 잘 모르겠습니다. 참고하세요! http://www.hostmath.com/  

[1] 멘델 논문발표 이후...  

[2] 3:1 ratio의 예외 - Incomplete Dominance (불완전우성)  

[3] 3:1 ratio의 예외 - Codominance (공동우성)

[4] 3:1 ratio의 예외 - Multiple Alleles  (복대립유전자)  

[1] 멘델 논문발표 이후...

멘델 논문이 나온 뒤(1866년), 폭발적인 반응이 있진 않았습니다. 왜냐하면 이게 엄청난 발견인지는 몰랐던거였죠. 1884년에 멘델은 죽었지만, 1900년까지 그의 연구에 대한 인식조차 거의 없었습니다. 그 이유를 생각해보자면, 당시 통계나 숫자에 대한 개념이 현재보다 부족했고, 멘델연구는 완두콩에 대한 실험이었을 뿐 Mendel's 3:1이 적용되지 않은것들도 많았기 때문입니다.

사람들의 반응은 크게 두가지였어요.  

1) 예외의 경우를 찾는 사람들: blending inheritance - 멘델의 경우는 discrete inherinace에 관한 것이었다라는 거죠. 즉, 이거 아니면 저거, 아니면 그거. 이렇게 딱딱 떨어지는 것들을 말합니다. 하지만 사람의 키를 예를들어보면, 뚜렷하게 나타나는게 아니라 다양하게 나타나는걸 볼 수 있는데요~ 이런 예외가 있지 않냐!!라며 예외의 경우를 찾는 사람들이 있었습니다.   

2) 예외를 멘델의 연구방식으로 재해석하려는 사람들: 멘델이 말한 segregation(분리법칙)과 independent assortment 을 예외의 경우에도 적용할 수 있는지 추가연구를 William Bateson(1992) 이 했습니다.    

[2] 3:1 ratio의 예외 - Incomplete Dominance   

예외를 들어보면... 빨간꽃과 하얀꽃을 교배했더니 분홍꽃이 나왔다!!!!

P: Red (RR) X White (WW)  

F1: PINK!!!!! (RW)  말이 안되잖아!! 라고 해놓고, 다시 멘델의 방법으로 F1끼리 교배를 해보았습니다. 

F2: 92 Red, 225 Pink, 114 White 세 종류의 Phenotype가 나타났고 이 비율은 1:2:1  

이때,  1:2:1 에 대해 멘델의 분리법칙(segregation)을 적용할 수 있다는걸 알 수 있는데요. Genotype을 보면, RR(red), WW(white)는 homozygous(동형)이고, RW(pink)는 heterozygous 일 뿐 입니다.

식물에만 나타나는건 아니예요. 사람의 경우를 예를들어보자면, Familial Hypercholesterolemia (가족성 과콜레스트레롤혈증)를 꼽아볼 수 있습니다. 콜레스테롤 수치를보면, Heterozygotes가 Homozygoetes 사이에 있어서 중간적인 수치가 나와요. 간단하게만 설명하고 넘어가겠습니다.  

[3] 3:1 ratio의 예외 -Codominance       

Codominance는 단순하게 설명하자면,,,, Incomplete Dominance는 핑크색이 나왔다면 Codominance는 하얀색과 빨간색 다 나오는 경우입니다. 

즉, Dominance is NOT always complete!!

왜? Incomplete Dominance와 Co-dominance 경우가 있기 때문에~~  

비교해서 설명하자면, Incomplete Dominance는 F1 hybrid에서 부모의 모습과 다른, 중간형질의 모습(분홍색)이 나타나므로, allele를 dominant / recessive라고 말하지 하지 않습니다. 

하지만 Co-dominance는 부모의 모습 모두 나타나는경우이기 때문에, 이 두가지의 공통점은 Phenotypic ratios are same as genotypic ratio라고 합니다. 즉, 표현형질과 유전형질이 같은 비율을 가지고 있다는 거죠. Incomplete의 경우, Phenotypic ratio가 1(RR):2(RW):1(WW)이었는데 RW x RW 했을 경우 Genotype역시 1:2:1이 다.  

[4] 3:1 ratio의 예외 - Multiple Alleles  

닭 벼슬에 관한 것인데, Pea x Single끼리 교배했더니 아래 그림처럼 나와서 pea가 우성이구나, 알 수 있었습니다. 또, Rose x Single 끼리 교배했더니 아래 그림처럼 나와서 rose가 우성이구나, 알 수 있었습니다.

그래서 single의 allele를 보면, 

우성이었던 pea와 rose는 PP, RR로, single은 pp(=rr)이라는걸 짐작할 수 있는데요, 이 얘기는 더 복잡하므로 나중에 다시 정리해보겠습니다.    

결론은, GENE이라는건, 2개 이상의 alleles를 가질 수 있다는 점 이예요. 즉 엄마 AA, 아빠 Aa 이런게 아니라,  여러개의 AAEE 뭐 이런식으로 2개 이상의 alleles를 가질 수 있다. Although there may be many alleles in a population, each individual carries only 2 of the alternatives.

즉, 전체를 보면 닭 벼슬모양이 여러 모양으로 나타나서, 여러개의 alleles들이 있지만, 개인으로 봤을때 딱 2가지의 alternatives만 가지고 있다. (=Although there may be many alleles in a population, each individual carries only 2 of the alternatives)

아직 이해가 안가신다면, 추가해서 설명해보도록 할게요. 혈액형을볼때 A형, O형, B형, AB형 이렇게 다양하죠. 하지만 이때 3종류의 alleles이 있고 (A, B, i), 6가지의 경우의 수로 ABO genotypes가 결정됩니다. AA, BB, AB, Ai, Bi, ii 이렇게요~ 하지만 결국 개인이 가지고 있는건, 두개의 allele를 가지고 있는거죠.  

그리고 각각 allele에 대해, Dominance와 recessiveness는 다른 allele에 대해 상대적입니다. 다시 혈액형을 예를들어 설명하자면, A는 i에 비해 무조건 우성이지만, B를 만나면 co-dominant를 가져요. 그래서 6가지의 genotypes가 있지만 phenotypes로 나타나는건 4가지가 됩니다. A, B, AB, O형!!